一道高考数学题,一道高考数学题的研究

设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1中点，求平面B1DE和底面ABCD所成的二面角

因 E 点在底面 ABCD 的射影为 A，B1 点射影为 B ，所以△EB1C 在底面 ABCD 内的射影三角形为 Rt△ABC.

设正方体棱长为 a ，则 .

又在△EB1C 中， ，

设面 EB1C 和面 ABCD 所成的二面角为 θ，

则 .

所以所求二面角的大小为

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

2．若函数为偶函数，则a=（ ）

A． B． C． D．

3．圆与直线没有公共点的充要条件是（ ）

A． B．

C． D．

4．已知，，，，则（ ）

A． B． C． D．

5．已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为（ ）

A． B． C． D．

6．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）

A． B． C． D．

8．将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ ）

A． B． C． D．

9．已知变量满足约束条件则的最大值为（ ）

A． B． C． D．

10．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．72种

11．已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

12．在正方体中，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线（ ）

A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．函数的反函数是 ．

14．在体积为的球的表面上有A、B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．

15．展开式中的常数项为 ．

16．设，则函数的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在中，内角对边的边长分别是，已知，．

（Ⅰ）若的面积等于，求；

（Ⅱ）若，求的面积．

18．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量 2 3 4

频数 20 50 30

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求

（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；

（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF‖，截面PQGH‖．

（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，

并求出这个值；

（Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

在数列，是各项均为正数的等比数列，设．

（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；

（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，求数列的前项和．

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？

22．（本小题满分14分）

设函数在，处取得极值，且．

（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供文科考生使用）试题

参考答案和评分参考

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分．

1．D 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A

7．C 8．A 9．B 10．B 11．D 12．D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

13． 14． 15． 16．

三、解答题

17．本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由余弦定理得，，

又因为的面积等于，所以，得． 4分

联立方程组解得，． 6分

（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为， 8分

联立方程组解得，．

所以的面积． 12分

18．本小题主要考查频率、概率等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 4分

（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为

（ⅰ）． 8分

（ⅱ）． 12分

19．本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．

解法一：

（Ⅰ）证明：在正方体中，，，又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直． 4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

，是定值． 8分

（Ⅲ）解：设交于点，连结，

因为平面，

所以为与平面所成的角．

因为，所以分别为，，，的中点．

可知，．

所以． 12分

解法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得

，

，

．

因为，所以是平面PQEF的法向量．

因为，所以是平面PQGH的法向量．

因为，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分

（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．

在所建立的坐标系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．

由为中点可知，分别为，，的中点．

所以，，因此与平面所成角的正弦值等于

． 12分

20．本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）是等比数列． 2分

证明：设的公比为，的公比为，则

，故为等比数列． 5分

（Ⅱ）数列和分别是公差为和的等差数列．

由条件得，即

． 7分

故对，，…，

．

于是

将代入得，，． 10分

从而有．

所以数列的前项和为

． 12分

21．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为． 4分

（Ⅱ）设，其坐标满足

消去y并整理得，

故． 6分

，即．

而，

于是．

所以时，，故． 8分

当时，，．

，

而

，

所以． 12分

22．本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．满分14分

解：．① 2分

（Ⅰ）当时，

；

由题意知为方程的两根，所以

．

由，得． 4分

从而，．

当时，；当时，．

故在单调递减，在，单调递增． 6分

（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，

所以．

从而，

由上式及题设知． 8分

考虑，

． 10分

故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．

又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．

所以，即的取值范围为． 14分