高考数学答案一卷2020_高考数学答案一卷

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

(1)若A= ，B= ，则 =

(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3)

答案：C 解析：画数轴易知.

(2)已知 ，则i( )=

(A) (B) (C) (D)

答案：B 解析：直接计算.

(3)设向量 , ,则下列结论中正确的是

(A) (B)

(C) (D) 与 垂直

答案：D 解析：利用公式计算，采用排除法.

（4）过 点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是

（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0

答案：A 解析：利用点斜式方程.

(5)设数列｛ ｝的前n项和 = ，则 的值为

（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64

答案：A 解析：利用 =S8-S7，即前8项和减去前7项和.

（6）设abc＞0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是

答案：D 解析：利用开口方向a、对称轴的位置、y轴上的截距点c之间关系，结合abc＞0产生矛盾，采用排除法易知.

（7）设a= ，b= ,c= ，则a，b，c的大小关系是

（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a

答案：A 解析：利用构造幂函数比较a、c再利用构造指数函数比较b、c.

（8）设x,y满足约束条件 则目标 函数z=x+y的最大值是

（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8

答案：C 解析：画出可行域易求.

（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是

（A）372 （C）292

（B）360 （D）280

答案：B 解析：可理解为长8、宽10、高2的长方体和长6、宽2、高8的长方体组合而成,注意2×6重合两次，应减去.

（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是

（A） （B） （C） （D）

答案：C 解析：所有可能有6×6，所得的两条直线相互垂直有5×2.

数 学(文科)(安徽卷)

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置?

(11)命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是

答案：对任何X∈R，都有X2+2X+5≠0

解析：依据“存在”的否定为“任何、任意”，易知.

(12)抛物线y2=8x的焦点坐标是

答案：（2,0） 解析：利用定义易知.

(13)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x=

答案：12 解析：运算时X顺序取值为: 1,2,4,5,6,8,9,10,12.

(14)某地有居民100000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .

答案：5.7% 解析： ， ，易知 .

(15)若a>0 ,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号)．

①ab≤1； ② + ≤ ； ③a2+b2≥2； ④a3+b3≥3;

答案：①,③,⑤ 解析：①,⑤化简后相同，令a=b=1排除②、易知④ ，再利用 易知③正确

三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内.

(16)△ABC的面积是30，内角A,B,C,所对边长分别为a，b，c，cosA= .

(1)求

(2)若c-b= 1，求a的值.

（本小题满分12分）本题考查同角三角形函数基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.

解：由cosA=1213 ，得sinA= =513 .

又12 bc sinA=30，∴bc=156.

（1） =bc cosA=156?1213 =144.

（2）a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2?156?(1-1213 )=25，

∴a=5

（17）椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率 .

(1)求椭圆E的方程；

(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.

（本小题满分12分）本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识，考查解析几何的基本思想和综合运算能力.

解：（1）设椭圆E的方程为 由e=12 ，得ca =12 ，b2=a2-c2 =3c2. ∴ 将A（2,3）代入，有 ，解得：c=2, 椭圆E的方程为

（Ⅱ）由(Ⅰ)知F1（-2,0），F2（2,0），所以直线AF1的方程为 y=34 (X+2)，

即3x-4y+6=0. 直线AF2的方程为x=2. 由椭圆E的图形知，

∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数.

设P（x，y）为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，

则有

若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去.

于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0.

所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.

18、（本小题满分13分）

某市2010年4月1日—4月30日对空气 污染指数的检测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:

61,76,70,56,81,91,92,91,75 ,81,88,67,101,103,95,91,

77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,

(Ⅰ) 完成频率分布表；

（Ⅱ）作出频率分布直方图；

（Ⅲ）根据国家标准，污 染指数在0~50之间时 ，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。

请你依据所给数据和上述标准，对 该市的空气质量给出一个简短评价.

（本小题满分13分）本题考查频数，频数及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识.

解：(Ⅰ) 频率分布表：

分 组 频 数 频 率

［41,51) 2 230

［51,61) 1 130

［61,71) 4 430

［71,81) 6 630

［81,91) 10 1030

［91,101) 5 530

［101,111) 2 230

（Ⅱ）频率分布直方图：

（Ⅲ）答对下述两条中的一条即可：

（i）该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115 . 有26天处于良好的水平，占当月天数的1315 . 处于优或良的天数共有28天，占当月天数的1415 . 说明该市空气质量基本良好.

（ii）轻微污染有2天，占当月天数的115 . 污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的1730 ，超过50%. 说明该市空气质量有待进一步改善.

(19) (本小题满分13分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，E F∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;

（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

（本小题满分13分）本题考查空间线面平行，线面垂直，面面垂直，体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力.

(Ⅰ) 证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点. 连EG，GH，由于H为BC的中点，故GH∥AB且 GH= AB 又EF∥AB且 EF= AB

∴EF∥GH. 且 EF=GH ∴四边形EFHG为平行四边形.

∴EG∥FH，而EG 平面EDB，∴FH∥平面EDB.

（Ⅱ）证：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.

又EF∥AB，∴ EF⊥BC. 而EF⊥FB，∴ EF⊥平面BFC，∴ EF⊥FH.

∴ AB⊥FH.又BF=FC H为BC的中点，FH⊥BC.∴ FH⊥平面ABCD.

∴ FH⊥AC. 又FH∥EG，∴ AC⊥EG. 又AC⊥BD，EG∩BD=G，

∴ AC⊥平面EDB.

（Ⅲ）解：∵ EF⊥FB，∠BFC=90°，∴ BF⊥平面CDEF.

∴ BF为四面体B-DEF的高. 又BC=AB=2, ∴ BF=FC=

（20）（本小题满分12分）

设函数f（x）= sinx-cosx+x+1, 0﹤x﹤2 ,求函数f(x)的单调区间与极值.

（本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

解：由f(x)=sinx-cosx+x+1，0﹤x﹤2 ,

知 =cosx+sinx+1，

于是 =1+ sin(x+ ).

令 =0，从而sin(x+ )=- ，得x= ，或x=32 .

当x变化时， ，f(x)变化情况如下表：

X (0, )

（ ，32 ）

32

（32 ，2 ）

+ 0 - 0 +

f(x) 单调递增↗ +2

单调递减↘ 32

单调递增↗

因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0, ）与（32 ，2 ），单调递减区间是（ ，32 ），极小值为f（32 ）=32 ，极大值为f（ ）= +2.

（21）（本小题满分13分)

设 ， ..., ,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y= x相切，对每一个正整数n,圆 都与圆 相互外切，以 表示 的半径，已知 为递增数列.

(Ⅰ)证明： 为等比数列；

（Ⅱ）设 =1，求数列 的前n项和.

（本小题满分13分）本题考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考查抽象能力以及推理论证能力.

解：(Ⅰ)将直线y= x的倾斜角记为 ， 则有tan = ，sin = 12 .

设Cn的圆心为（ ，0），则由题意知 = sin = 12 ，得 = 2 ；同理 ，题意知 将 = 2 代入，解得 rn+1=3rn.

故{ rn }为公比q=3的等比数列.

（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，从而 =n? ，

记Sn= ， 则有 Sn=1+2?3-1+3?3-2+………+n? . ①

=1?3-1+2?3-2+………+(n-1) ? +n? . ② ①-②，得

=1+3-1 +3-2+………+ -n? = - n? = –(n+ )?

Sn= – (n+ )? .

2011年高考题全国卷II数学试题·理科全解全析

科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理科)

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题目及解析

（1）复数 ， 为 的共轭复数，则

（A） （B） （C） （D）

思路点拨先求出的 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。

精讲精析选B. .

（2）函数 的反函数为

（A） （B）

（C） （D）

思路点拨先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。

精讲精析选B.在函数 中， 且反解x得 ，所以 的反函数为 .

（3）下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是

（A） （B） （C） （D）

思路点拨本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.

精讲精析选A.即寻找命题P使P 推不出P，逐项验证可选A。

（4）设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则

（A）8 （B）7 （C）6 （D）5

思路点拨思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：

利用 直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

精讲精析选D.

（5）设函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于

（A） （B） （C） （D）

思路点拨此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了 是此函数周期的整数倍。

精讲精析选C. 由题 ,解得 ，令 ，即得 .

(6)已知直二面角 ，点 ,C为垂足， 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于

(A) (B) (C) (D) 1

思路点拨本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明 平面 ，进而 平面ABC,所以过D作 于E，则DE就是要求的距离。

精讲精析选C.

如图，作 于E，由 为直二面角， 得 平面 ，进而 ，又 ，于是 平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离。

在 中，利用等面积法得 .

(7)某同学 有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

思路点拨本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。

精讲精析选B.分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有 种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有 种。总的赠送方法有10种。

(8)曲线y= +1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为

(A) (B) (C) (D)1

思路点拨利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。

精讲精析选A. 切线方程是： ,在直角坐标系中作出示意图，即得 。

(9)设 是周期为2的奇函数，当0 ≤x≤1时， = ，则 =

(A) - (B) (C) (D)

思路点拨解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量 转化到区间[0,1]上进行求值。

精讲精析选A.

先利用周期性，再利用奇偶性得: .

(10)已知抛物线C： 的焦点为F，直线 与C交于A，B两点 ．则 =

(A) (B) (C) (D)

思路点拨方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。

精讲精析选D.

联立 ，消y得 ，解得 .

不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4,4),(1,-2),

可求 ，利用余弦定理 .

(11)已知平面α截一球面 得圆M，过圆心M且与α成 二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4 ，则圆N的面积为

(A)7 (B)9 (C)11 (D)13

思路点拨做出如图所示的图示，问题即可解决。

精讲精析选B.

作示意图如，由圆M的面积为4 ，易得 ，

中， 。

故 .

(12)设向量 满足 ，则 的最大值等于

(A)2 (B) (c) (D)1

思路点拨本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC为直径时， 最大.

精讲精析选A.如图，构造

所以A、B、C、D四点共圆，分析可知当线段AC为直径时， 最大，最大值为2.

(13)(1- )20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .

思路点拨解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意 .

精讲精析0. 由 得 的系数为 , x9的系数为 ,而 .

(14)已知a∈( ， )，sinα= ，则tan2α=

思路点拨本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。

精讲精析 .由a∈( ， )，sinα= 得 ,

.

(15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|A F2| = .

思路点拨本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。

精讲精析6.

由角平分线定理得： ,故 .

(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB 1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

思路点拨本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交，交点为P，则AP为面AEF与面ABC的交线.

精讲精析 .延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为 ，所以 为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。

(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c= b，求C.

思路点拨解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A—C=90°,得到 .即可求解。

精讲精析选D.由 ，得A为钝角且 ，

利用正弦定理， 可变形为 ，

即有 ，

又A、B、C是 的内角，故

或 (舍去)

所以 。

所以 .

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

根据以往统计资料，某地车主购买甲种 保险 的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 思路点拨解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.

精讲精析设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知： ，解得 。

（I） 设所求概率为P1，则 .

故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。

（II） 对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 。

所以X的期望是20人。

（19）如图，四棱锥 中， , ，侧面 为等边三角形， .

（Ⅰ）证明： ;

（Ⅱ)求 与平面 所成角的大小.

思路点拨本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明。

（II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。

精讲精析计算SD=1， ，于是 ，利用勾股定理，可知 ，同理，可证

又 ，

因此， .

（II）过D做 ，如图建立空间直角坐标系D-xyz，

A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),

可计算平面SBC的一个法向量是

.

所以AB与平面SBC所成角为 .

（20）设数列 满足 且

（Ⅰ）求 的通项公式；

（Ⅱ）设

思路点拨解本题突破口关键是由式子 得到 是等差数列，进而可求出数列 的通项公式.（II）问求出 的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和。

精讲精析 (I) 是公差为1的等差数列，

所以

(II)

.

（21）已知O为坐标原点，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线 与C交与A、B两点，点P满足

(Ⅰ)证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

思路点拨方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把 用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明 互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。

思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.

精讲精析 (I)设

直线 ，与 联立得

由 得

,

所以点P在C上。

（II）法一：

同理

所以 互补，

因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

法二：由 和题设知， ,PQ的垂直平分线 的方程为 …①

设AB的中点为M，则 ，AB的垂直平分线 的方程为 …②

由①②得 、 的交点为

,

, ,

故 .

所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

（Ⅰ）设函数 ，证明：当 时， ；

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为 .证明：

思路点拨本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。

第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。

精讲精析(I)

所以 在 上单增。

当 时， 。

（II）

由(I)，当x<0时， ,即有

故

于是 ,即 .

利用推广的均值不等式：

另解： ，

所以 是上凸函数，于是

因此

故

综上：