高考数学正态分布_高考正态分布题

1.刘嘉概率论22讲《十二，正态分布，最简单却最重要的概率分布》

2.高考理科数学正态分布考不考？（我是全国卷）可以跳过去不学吗？

3.高考分是怎么样算的

如何理解标准分

如何理解标准分 实行标准分制度是标准化考试的一个重要环节，也是标准化考试的一个重要标志。我国的高 制度一直以来实行的是原始分数制度。原始分数就是考生在一份试卷中所得的卷面分数，往往用百分比的形式出现。例如：一份试卷的满分是100，得到 75分就意味着答对75％，但是原始分往往受 试题的难易影响，题目难了，原始分数就低，题目易了，分数偏高。如，一个人高考数学原始分是 75分，这个成绩到底是高还是低？这如果是在84年高考理科数学中的成绩（当时该科平均分只有 35.9分）这就是一个很高的成绩了；若这是 86年高考文科数学的成绩，则只是一个中等的成绩(当 考文科数学的成绩，则只是一个中等的成绩（当时该科平均分是 73.8）。因此，使用原始分制度 再加上试题本身的不稳定，考试中的分数就不等值，考生的水平就难以进行科学的比较。而标准分 是按正态分布原理而建立的分数制度，其主要特点是：分数不但可以反映考生的水平高低，还可以 直接反映出该分数在全体考生中的位置。我们看下面的例子，这是平时考试中，老师们经常作的统 计图，以便了解每个分数段的人数。

附图

当人数足够多，试题确实能反映考生的水平时，考生的成绩便会趋于这样一种“两头小中间 大”的分布（见上图中的虚线），我们称之为正态分布。经人们长期研究发现，与人有关的事物统计下来大多数都符合这种分布，如人的身高、体重、智力等；并且正态分布曲线与横座标所围的面积是恒定的（见下图）。

附图

例如，中线两边的面积各占50％，中线加一个单位以左面积是84．13%，朝两个单位以左面积 是97．72％，三个单位以左的面积是 99．87%，等等。

标准分制度正是以这为根据而建立的。我省高考实行的标准分把中线处成绩定为500，每个单 位为100。当高考后，全体考生的一个单科的原始分评出来后，将所有分数从高到低排序（见见表 一，高考单科成绩百分位与标准分对照表），然后按每个分数的累计人数百分比转成标准分。例 如，50％位置的分数转为500分，84．13％位置的分数转为 600分，以此类推。这样，有了标准分 我们就可以知道某人的水平，也可以同 时知道其在全体考生中的位置。如某人语文得了600分， 表示他比全省84．13％的考生要好，如果全省有10万考生，则他的语文排在约16000名左右，而原 始分是不可能知道分数的位置的，这正是标准分的好处之一。

其二，以往高考是以原始分的总分划线录取的，由国家教育部按各科的重要性和在中学的学 习时数规定了各科在总分中的权重，例如语文在理科类中所占有的比例应该是120／710=16.9%, 生物应占有70/710=9．8％等。我们看一看下面这张1985年全国高考理科的各科平均成绩表：

政治 语文 数学 物理 化学 生物 外语 合计

满 分 100 120 120 100 100 70 100 710

平 均 分 68.5 56.7 60.0 54.3 60.2 33.2 61.6 394.6

实占总分% 17.2 14.4 15.2 13.9 15.3 8.4 15.6 100

应占总分% 14.1 16.9 16.9 16.9 14.1 14.1 9.8 100

从表中我们看到数学和语文应各占总分的16．9%，但实 际只有14．4%和15．2%，而政治 应占14．l%却占了17．2%，这说明当年高考总分划录取线时，政治成绩起了很大的作用，而语文、 数学成绩的作用就相对降低了。这种原始分相加的方法就好像将100元港币加上100元人民币再加 上100美元得到的“300”元一样，不能反映其价值的高低的。1999年广东省实施的“3＋X”科目 改革方案，将不再分文理科类，采取了综合分标准分和X单科标准分分别划线的方式，即将每个人 语文、数学、英语这三科的标准分加起来得到一个总分，然后按总分的高低排序，按以上方法转 换成综合分的标准分（见表2），X科目的各个学科也按原始分高低分别排序转换成各科目的标准 分。

使用标准分的意义

第一，标准分可以反映考生在全体考生中的位置。 例如：某理科考生综合分为500，表示他在全体考生中50％的位置上，90年广东省高考理科 和体育类考生总数约78850人，所以他大概是39425名。 又如，某考生英语成绩700，表示他在全体考生中处于97.72％的位置，若今年广东省全体考 生数180000人，则比他高分的考生约 4104人。

第二，标准分便于划录取分数线，甚至在高考前就可以划出。 例如：当知道了考生的总人数为80419人，又知道第一批录取数是4278人，分数线若按录取 人数的110％划出，即4278*110％/80419=5．85％，从标准分百分位表（见表 3）中可以查出录 取分数线是660分。

第三，标准分便于各市、学校以及考生成绩的比较。 例如：甲乙两校考生高考物理平均分分别是550和560，则查标准分位置对照表（见表3）可 以知道550位于全省考物理的考生的69．15％之上，560分则位于对．57％的考生之上。

第四，标准分便于各科成绩之间的比较。 例如：某考生数学700分，语文680分，表示其数学成绩位于全省 97． 72％的考生之上。而 语文在全省考生的 96．41％位置。 又如；某校有50名考生，历史成绩平均640分，地理成绩平均580分，表示该校考生的高考历 史成绩在全省91．92％的位置，而地理成绩在 78 81％的位置上。

第五，各科成绩转换成标准分后再相加，较之原始分那种“美元加港币加人民币”的相加方 式要合理，原因是标准分实际上是将各科原始分转换成统一的“度量衡”再相加。这种统一的“度 量衡”，也有利于保证了总分中各个单科成绩的应有权重，换句话说，不会因为某个学科试题容 易了，分数高了，在总分中占了便宜，也不会因为某单科试题难了，分数低了，在总分中所起的 作用小了。

刘嘉概率论22讲《十二，正态分布，最简单却最重要的概率分布》

高考数学的方差知识点在数学解题中有着极其广阔的应用价值，下面是我给大家带来的广东高考数学方差必考知识点，希望对你有帮助。

　高考数学方差必考知识点

方差定义

方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。

方差性质

1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动);

2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);

3.若X、Y相互独立，则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为

当X、Y相互独立时，，故第三项为零。

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=(x1+x2+x3+?+xn)/n

(n表示这组数据个数，x1、x2、x3?xn表示这组数据具体数值)

方差的应用

计算下列一组数据的极差、方差及标准差(精确到0.01).

50，55，96，98，65，100，70，90，85，100.

答：极差为

100-50=50.

平均数为

2017年高考数学方差必考知识点

一.方差的概念与计算公式

例1 两人的5次测验成绩如下：

X: 50，100，100，60，50 E(X )=72;

Y: 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72.

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是

消除符号影响

方差即偏离平方的均值，记为D(X )：

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里 是一个数。推导另一种计算公式

得到：?方差等于平方的均值减去均值的平方?。

其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动

二.方差的性质

1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);

2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);

证：

特别地 D(-X ) = D(X )， D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)

3.若X 、Y 相互独立，则

证：

记则前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为

当X、Y 相互独立时，故第三项为零。

特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=(x1+x2+x3+?+xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3?xn表示这组数据具体数值)

三.常用分布的方差

1.两点分布

2.二项分布

X ~ B ( n， p )

引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)

3.泊松分布(推导略)

4.均匀分布

另一计算过程为

5.指数分布(推导略)

6.正态分布(推导略)

7.t分布 ：其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分布：其中X~F(m，n)，E(X)=n/(n-2);

正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。

例2 求上节例2的方差。

解 根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

方差的定义：

高考理科数学正态分布考不考？（我是全国卷）可以跳过去不学吗？

正态分布是概率分布中最重要的分布，再数学家眼里，他是远远高于其他分布的。

其他分布都是特殊的，只有正态分布是正常的，一般的，从名字上，我们也能感受到它的重要性。

有趣的是正态分布不仅重要而且简单，就像一条对称的倒钟形曲线，中间很高，两边下降，像个鼓起的小山包。

再正态分布的曲线里，横坐标代表随机变量的取值范围，越往右，随机变量的值就越大，纵坐标，则代表概率大小，最底下的概率是0，越往上概率越大。这样曲线上随便找一点，确定他的横坐标，纵坐标，我们就知道了这个值出现的概率是多少。

因为这条曲线左右是对称的，所以中间的最高点，就代表平均值出现的概率最大，数据最多，而两边陡峭下降，就意味着约靠近平均值，数据越多，越远离平均值，数据就越少。

当然，我们不能停留在这种粗糙的描述上，要理解正态分布，必须了解他的三个数学性质。

1，均值就是期望

也就是说，正态分布中间最高点的横坐标，不仅代表随机变量的平均值，而且还等于他的数学期望，这是经过数学证明的，在概率论中，正态分布的均值和期望是一个意思，是一件事儿的两种表达。

我们前面讲过，数学期望代表长期价值，而现在平均值又是数学期望，也就是说，在正态分布中，平均值就是代表随机事件的价值。

为什么我们会用高考的平均成绩衡量一所高中的教学质量，为什么我们会有平均收益率来衡量一家基金公司的收益，平均值就代表这个随机事件的价值。

只有在正态分不里，平均值才有这个意义，如果不是正态分布，平均值就没啥意义了，比如地震，谁也没听说过平均强度和平均损失这样的说法吧。

2，极端值很少

还记得正态分布的图吗？越靠近平均值，这条曲线越高，出现的概率越大，越远离平均值，这条曲线就越低，出现的概率就越小。这说明，正态分布大多数的数据都集中在平均值附近，极端值很少。

极端值很少这句话有两个含义：意识极端值出现的概率很低，二是极端值对均值影响很小，也因此，正态分布非常稳定，拿人的身高来说吧，它大体服从正态分布，所以即便姚明加入，我们的平均身高也不会有太大变化。

3，标准差决定胖瘦

同样是正态分布图，有的曲线要矮胖一些，有的曲线要高瘦一些，为什么

因为标准差不同，标准差就是方差的平方根，也能用来描述随机变量的波动情况。正态分布中，标准差越大，数据的波动越剧烈，钟形曲线就越矮胖，标准差越小，数据越集中，钟形曲线就越高瘦。

为什么说正态分布简单，因为在正态分布中，平均值等于期望，决定这条曲线的最高点，方差决定胖瘦，决定曲线的弯曲度。简单的两个数据，就确定了这条曲线的形状。

不同的正态分布曲线可以比较吗？

可以的，

第一，只有均值不同，能比较好坏。

第二，只有标准差不同，能比较波动

第三，标准差和均值都不同，能比较专业和业余

高考分是怎么样算的

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高考分数算法是文理科的总分皆为750分，以卷面实际取得分数为主，也会有一定的加分，比如省级优秀干部加5分，二级运动员加5分，少数民族也有不同的加分政策。

新高考的成绩算法：

参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%。等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩。

依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80、61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩。

新高考分数构成：

总分750分，语文、数学，毕业当年考试，每门150分，开考时间是每年6月；外语，150分。每年安排2次考试，1次在6月与语文、数学同期进行，（考试对象限于当年高考考生）；1次在10月与选考科目同期进行。学考中的选考科目，6门之中选3门，每门100分。

新高考模式：

以新高考“3+1+2”模式为例。“3”即统一高考科目为语文、数学、外语3门；“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”指从物理或历史科目中选择1门首选科目，“2”指从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门再选科目。

高考填报志愿技巧：

一、初次筛选：

根据2023年辽宁高考自身实际，综合考虑各方面的因素，初步选择足量的“专业（类）+院校”志愿，分别放在“冲一冲”“稳一稳”“保一保”三个梯度备用。

二、综合优化：

从前面选定的批量志愿中，结合往年院校、专业录取等各方面情况综合分析，将其中不喜欢的专业或录取可能性不大的高校、专业删除，优化选择出拟报考的、可放在不同梯度的相对合适的高校、专业。

三、最终排序：

结合本人2023年辽宁高考实际情况和意向确定具体志愿的先后顺序，对所有经筛选优化后的备用志愿逐一比对，并先高后低按降序排列。可以将喜欢的专业及院校尽量往前排，最后要填一些录取希望比较大的专业及志愿，2023年辽宁高考志愿的填报适当拉开梯度。

以上数据出自高三网。